ریاضی باحال

جان نپر (John Napier)

جان ناپیر یا جان نِپِر (به انگلیسی: John Napier) ‏(۱۵۵۰ در مرکیستون کسل - ۴ آوریل ۱۶۱۷ در مرکیستون کسل) ریاضی‏‎دان و نویسنده دینی اهل اسکاتلند بود که مفهوم لگاریتم را پایه‌ریزی کرد. وی احتمالاً در سال ۱۵۹۴ کار بر روی مبحث لگاریتم‌ها را آغاز کرد و در سال ۱۶۱۸ برای نخستین بار منابعی که وی در اشاره به e نوشته‌بود، منشرشد. یکی از حفره‌های ماه به نام او نامگذاری شده‌است.

زندگی نپر

شگفت آور نیست که نبوغ و قدرت تجسم نپر بعضی ها را بر آن داشت تا وی را از لحاظ فکری نامتعادل پندارند و برخی دیگر به او به عنوان رواج دهنده سحر و جادو نگاه کنند. داستانهای بسیار و احتمالا بی پایه ای، در تایید این نظریات گفته می شوند. زمانی وی اعلام کرد که خروس سیاه زغالی او برای وی مشخص خواهد کرد که کدامیک از خدمتکارانش از او دزدی می کند. خدمتکاران یک به یک به اتاق تاریکی فرستاده شده بودند، با این دستور که پشت خروس را نوازش کنند. بدون اطلاع خدمتکاران، نپر پشت خروس را به دوده چراغ آغشته کرده بود، و خدمتکار مجرم، در بیم از دست زدن به خروس، با دستهای تمیز باز گشته بود.
مورد دیگری نیز وقتی بود که نپر از دست کبوتر های همسایه که حبوبات او را می خوردند،به تنگ آمده بود. وی تهدید کرد در صورتی که همسایه اش جلوی پرواز این پرندگان را نگیرد، آنها را ضبط خواهد کرد. همسایه، با این تصور که گرفتن کبوتر هایش عملا غیر ممکن است، به نپر گفت که وی مخیر است آنها را بگیرد. روز بعد همسایه شگفت زده کبوتر های خود را تلو تلو خوران روی چمن نپر مشاهده می کند که نپر با خونسردی آنها را در کیسه ای می ریخته است. نپر پرندگان را با پاشیدن نخود فرنگی های آلوده به شراب پیرامون چمن خود مست کرده بوده است. نپر برای رهایی از مناقشات سیاسی و مذهبی خود را با مطالعه ریاضیات و علوم سرگرم می کرد و نتیجه اش چهار موضوع زیر است که ثمره نبوغ اوست و در تاریخ ریاضیات ثبت شده ا ست :
۱- اختراع لگاریتم
۲- یادآور زیرکانه ای، موسوم به قاعده اجزاء مستدیر، برای به دست آوردن دوباره فرمولهایی که در حل مثلث های قائم الزاویه کروی به کار می روند.
۳- حداقل دو فرمول مثلثاتی از یک گروه چهار تایی معروف به مشابهات نپر که در حل مثلثهای غیر مشخص کروی مفیدند.
۴- اختراع اسبابی موسوم به میله های نپر یا استخوانهای نپر، مفید در ضرب، تقسیم، واستخراج ریشه های دوم اعداد به طور مکانیکی.
نپر بحث خود درباره لگاریتمها را در 1614 در رساله ای تحت عنوان شرح قانون شگفت انگیز لگاریتم ها منتشر کرد. این اثر حاوی جدولی ا ست که لگاریتم سینوس زوایا را برای دقیقه های متوالی یک کمان می دهد. رساله توجه فوری و گسترده ای را برانگیخت، و در سال بعد از انتشار آن هنری بریگز (1631-1561 ) استاد هندسه در کالج گرشام در لندن، و بعداٌ استاد در آکسفورد، به ادینبورو سفر کرد تا مراتب احترام خود را به مخترع کبیر لگاریتم ها ادا کند. در ضمن این ملاقات بود که نپر و بریگز به این توافق رسیدند که جداول در صورت چنان تبدیلی که لگاریتم 1 ، 0 و لگاریتم 10 هر توان مناسبی از 10 شود، مفید تر خواهد بود. بدین ترتیب لگاریتم امروزی بریگزی، یا متعارفی، تکوین یافت. این گونه از لگاریتم ها، که اساسا لگاریتم هایی در مبنای 10 می باشند، کارآیی برتر خود را در محاسبات عددی مرهون این حقیقت هستند که دستگاه شمار ما نیز در مبنای 10 است. برای دستگاه شماری که پایه دیگری مانند b داشته باشد، به منظور محاسبات عددی، مناسبتر خواهد بود که جداول لگاریتم نیز در مبنای b باشند.
کلمه لگاریتم به معنی «عدد نسبت» است و توسط نپر، بعد از آنکه از اصطلاح عدد ساختگی استفاده کرد، اتخاذ گردید.
بریگز کلمه مانتیس را، که کلمه لاتینی متاخری از ریشه اتروسکی است، معمول کرد، که در اصل به معنی «جمع» یا «پارسنگ» بوده و در قرن 16 معنی «ضمیمه» را یافت. اصطلاح مفسر توسط بریگر نیز پیشنهاد شد و به وسیله ولاک به کار رفت.
اختراع شگفت انگیز نپر در سرتاسر اروپا به گرمی مورد استقبال واقع شد. در نجوم، بویژه، زمان برای چنان اکتشافی بسیار آماده بود. بنا به اظهار لاپلاس، اختراع لگاریتم ها «با کوتاه کردن زحمات، عمر منجمین را دو  برابر کرد.»
تنها رقیب نپر در پیش قدمی در اختراع لگاریتم بورگی (1632 – 1552 ) ابزار ساز سوئیسی بود. بورگی جدولی از لگاریتم ها را مستقل از نپر به تصور در آورده و آنرا ساخت و نتایج کارهای خود را در 1620 شش سال بعد از اینکه نپر کشف خود را به جهانیان اعلام کرده بود، منتشر نمود. گرچه هر دوی آنها ایده لگاریتم را مدتها قبل از انتشار در ذهن خود پروانده بودند، عموما اعتقاد بر این است که این ایده اول بار به ذهن نپر راه یافته بوده است. روش نپر هندسی بود، در حالی که روش بورگی جبری بود. امروزه لگاریتم عموما به عنوان یک نما تلقی می شود.

میله های نپر
مشکلی که در ضرب اعداد بزرگ به طور گسترده پیش می آمد ، منجر به پیدایش طریقه های مکانیکی برای انجام این فرآیند گردید. اختراع نپر ، مشهور به میله های نپر یا استخوانهای نپر در زمان خود بسیار معروف بود ، و توسط کاشف آن در اثری به نام مطالعه چوبهای معجزه آسا ، منتشره در 1617 تشریح شداین اختراع اصولا همان روش شبکه ، یا مشبکه اعراب است .

مثال: ضرب 1615 در 365 ؟

حال نوارهایی را که در صدر آنها اعداد 1و6و1و5 نوشته شده اند ، کنار هم قرار می دهیم . نتایج ضرب 1615 در ارقام 5و6و3 از عدد 365 را در این صورت می توان به آسانی به صورت  8075 و9690 و 4845 پیدا کرد ، تنها چند عمل جمع قطری ساده  دو رقم برای به دست آوردن این نتایج لازم اند.

عدد نپر

عدد نپر...e=2.7182818284590452353602874713527 است.پرکاربردترین عدد گنگی که بشر تا بحال کشف کرده عدد نپر است.کشف این عدد منتسب به جان نپر((John Napierدانشمند اسکاتلندی و معرف لگاریتم است. البته اهمیت این عدد بیشتر مرهون کارهای لئونارد اویلر (Leonhard Euler)دانشمند سوئیسی است. چه بسیاری نیز معتقدند انتخاب حرف eبرای عدد نپر بخاطر اولین حرف از نام خانوادگی اویلر بوده;همینطور گفته می شود کاشف عددeان گونه که برخی می پندارند اویلر نبوده است بلکه خود نپر بحث مربوط به لگاریتم طبیعی و عددeرا در یکی از نوشته هایش پیش کشیده است.البته عده ای نیز می گویند این حرف نخستین حرف کلمه نمایی(exponential)است.

Log _ax=y  ó  a^y=x

از تمام پایه های ممکن برای لگاریتم ها,انتخاب پایه e بیشترین سهولت را ایجاد می کند.لگاریتم در پایه e لگاریتم طبیعی نامیده میشود و دارای نماد خاص زیر است :

Log_ex=ln x

(نماد دیگری که گاهی بکار میرودx_e log=log x یعنی  پایه ان حذف مب شود زیرا eرایج ترین پایه مورد استفاده می باشد.)

  لگاریتم طبیعی را می توان برای همه اعداد حقیقی مثبت x که در زیر ناحیه زیر منحنی y=1/x از 1تا a تعریف نمود و همچنین برای اعداد مختلط غیر صفر می توان تعریف کرد. تابع لگاریتم طبیعی همچنین به عنوان تابع معکوس تابع نمایی که منجر به همانی می شود می توانیم تعریف کنیم.

e^ln(x)=x        if        x>0

ln(e^x)=x.

به بیان دیگر تابع لگاریتم یک نگاشت دو سویی است از مجموعه اعداد حقیقی مثبت به مجموعه همه اعداد حقیقی,دقیق تر این است که یک ایزومورفیسم(یکریختی)از یک گروه از اعداد حقیقی مثبت تحت عمل ضرب به گروهی از اعداد حقیقی تحت عمل جمع است.لگاریتم می تواند برای هر پایه مثبتی غیر از 1 تعریف شود,نه فقط e. برای حل معادلات پدیده ها ی ناشناخته به عنوان توانی از بعضی مقادیر دیگر (حدود دیگر)ظاهر می شود.

Ln(x)صریحا ممکن است به عنوان ناحیه زیر نمودار (انتگرال)1/xاز 1تا a تعریف شود و ان این است:

این تعریف یک لگاریتم است چون خاصیت بنیادی لگاریتم را ایفا می کند:

Ln(ab)=ln(a)+ln(b)                                                                                

این رابطه با جایگذاری t=x/a  چنان که در زیر امده,می تواند اثبات شود.

رقم e می تواند یک عدد حقیقی یکتا a تعریف شود,بطوریکه ln(a)=1  متناوبا:اگر یک تابع نمایی تعریف شده باشد نخست یک سری نامتناهی استفاده می شود.لگاریتم طبیعی ممکن است به عنوان تابع معکوس ان تعریف شود;یعنی ln(x)  تابعی است که e^ln(x)=x  .از این رو برد توابع نمایی در مباحث حقیقی,تمام اعداد حقیقی مثبت است.و از این رو تابع نمایی اکیدا صعودی است.این یک مشخصه برای همه  اعداد مثبت است.

  مشتق لگاریتم طبیعی

  مشتق لگاریتم های طبیعی به وسیله d/dx ln(x)=1/x  گرفته می شود,این به سری تیلور منتهی می شود.

;i که همچنین سهمی مرکاتور نامیده میشود,با جانشینی   x-1 برای x ما شکل متناوبی برای ln(x) بدست می اوریم.یعنی:

انتگرال گیری لگاریتم طبیعی

   لگاریتم طبیعی انتگرال ساده می پذیرد از توابع به فرم:  g(x)=f '(x)/f(x)

یک ضد مشتق از g(x) با ln(If(x)I)  نشان داده میشود. این عمل به علت قاعده زنجیره و دلایل به شرح زیر یک قضیه است.  

لگاریتم طبیعی با انتگرال گیری به روش جز به جز می تواند انتگرال گیری شود.

ارزش عددی:

   برای محاسبه ارزش عددی لگاریتم طبیعی از یک عدد,با سری تیلور می تواند بازنویسی شود بصورت زیر: برای بدست اوردن یک روش بهتر از همگرایی,همانی زیر می تواند استفاده شود: در صورتی کهx>0   ,      y=(x-1) / (x+1)     

در حالیکه برای ln(x)  که مقدار x نزدیک به 1 است,سریع ترین روش همگیرایی ,همانی وابسته به لگاریتم برای استخراج کردن می تواند به کار رود.

همچنین تکنیک هایی که قبل از ماشین حساب استفاده می شدند با استناد به جدول های عددی و انجام دهنده های دیتی چنان که در  بالا امده اند ,کاربرد داشته اند.

  در اینجا برای اثبات اینکه eعددی گنگ است دو روش را بکار میبرم:

روش اول:

   با استفاده از سری توانی و با برهان خلف ثابت می کنیم که e گنگ است.

فرض میکنیمe=a/b   که a  و b  اعدادی صحیح هستند,باشد. بنابراین e^-1  حال می توان نوشت:

b/a=e^-1= n₌₀  (-1)^n / n!

طرفین را در a! ضرب میکنیم:

(b/a)a!= n ₌₀ ( (-1)^n) a! / n!

بنابراین خواهیم داشت:

b(a-1)!=a!-(a!/1!)+(a!/2!)-(a!/3!)+…

a!-(a!/1!)+(a!/2!)-(a!/3!)+…+((-1)^a)a!/a!

+(-1)^a+1{(1/a+1)-(1/(a+1)(a+2))+(1/(a+1)(a+2)(a+3))…..}

سمت چپ تساوی عددی صحیح است. بنابراین هر دو قسمت راست یعنی

a!-(a!/1!)+(a!/2!)-(a!/3!)+….(((-1)^a)a!)/a!)

و

(-1)^a+1{(1/a+1)-(1/(a+1)(a+2))+……}

عدد صحیح اند. اما این یک سری متناوب است که جمله عمومی ان به صفر میل میکند و بنابه ازمون لایب نیتز حد ان بین s1 , s2   است .اما s1  برابر 1/a+1 و s2 برابر 1/a+2  می باشد. و بنابراین عدد صحیحی بین 1/a+1  و 1/a+2    و این بوضوح تناقض است.بنابراین e  نمی تواند گویا باشد.

روش دوم:

The number e=2.718… canbe shown to be irrational by a very simple argument based on the power series expansion of the exponential function,wich gives

1 / e = 1 / 0! – 1 /1! + 1 / 2! – 1 / 3! + 1 / 4!

If p(k) is the kth partial sum,we see that

P(k) – p(k-1) =_+1/k!  ,

And so k(k-1)!)p(k-1) – k!p(k) =-+1.

It follows that placing each pair of consecutive partial sums on a common basis,we have the relations

2/6 < 1/e < 3/6

8/24 < 1/e < 9/24

44/120 < 1/e < 45/120

264/720 < 1/e < 265/720

And so on,where each pair of bounding numerators differs by 1,and the denominators are m! .The first of these relations proves that if 1/e is rational its denominator cannot be a divisior of 6,because then it could be written n/6 for some integer greater than 2 and less than 3.

Similarly the next relation proves that the denominator of 1/e connot be a divisor of 24,and the next proves that it cannot be a divisor of 120,and so on continuing in this way,it's clear that the denominator of 1/e connot be a divisor of any m! for m=2,3,4,… and so on to infinity. But every integer k is a divisor of m! for all m>=k , so 1/e (and therefore e)cannot be a rational number.

کاربرد لگاریتم و(استفاده از عدد نپر)

  بدیهی است که تا نیاز به چیزی احساس نشود ان چیز کشف و اختراع نمیگردد,درواقع هر کدام از علومی که با ان روبرو هستیم هر یک به مقتضای نیازی و با توجه به هدف خاصی پیکربندی شده اند.لگاریتم نیز با توجه به محاسبه های طولانی و ملال اوری که دانشمندان سده های شانزدهم و هفدهم میلادی با ان سروکار داشتند,بوجود امد.این محاسبه ها وقت و نیروی زیادی را از دانشمندان تلف می کرد و همیشه دانشمندان در ذهن داشتند که چطور می شود بدون انجام چنین محاسبات پیچیده و دشواری و ان هم در کمترین زمان به جواب مطلوب دست یابند.گفته می شود که حتی در قرن هشتم هندی ها با محاسبات مربوط به لگاریتم اشنایی داشتند اما این کلمه و مفهوم مربوط می شود به قرن شانزدهم.جدول هایی نیز در این زمینه بوجود امد و شاید همین تلاش ها و نیازها بود که سرانجام به کشف لگاریتم انجامید تا انجا که دو دانشمند به طور همزمان و بدون اینکه از کار یکدیگر اگاه باشند موفق به کسب چنین افتخاری گشتند,اولی جان نپر و دیگری بورگی.

  نپر مخترع اولین جدول های لگاریتمی درباره انگیزه خود چنین می گوید:"تا جایی که می توانستم کوشیدم تا از مشکلات و خستگی مربوط به محاسبات که کسالت و دلتنگی ناشی از ان عده ی زیادی را از مطالعه ریاضی می ترساند رهایی یابم."

  حقیقتا لگاریتم علاوه براینکه امکان میدهد عملیاتی را اجرا نماییم که بدون کمک لگاریتم به اشکال زیاد بر می خورد.(مثلا استخراج ریشه ی درجه دلخواه)محاسبات را فوق العاده اسان و سریع می سازد.                                                                                                                             شاید هیچوقت نپر فکر نمی کرد که جدول هایی را که برای ساده کردن محاسبات طولانی تنظیم کرد,جرقه ای این چنین را در ریاضیات ایجاد کند.                                                                       ابداع لگاریتم در قرن شانزدهم و هفدهم بزرگترین پیشرفت در حساب بوده است.و قبل از اختراع کامپیوتر از مهمترین ابداعات بحساب می اید.لگاریتم حساب دریانوردی را سامان بخشید.کاربرد ان در علوم و مهندسی و همچنین نجوم نباید انکار کرد.بدین ترتیب که محاسبات اعشاری در نجوم,دریانوردی و مثلثات را ممکن ساخت.                                                                                                 لگاریتم های معمولی اغلب در فرمول های علمی بکار می روند,مثلا:شدت زلزله بر حسب ریشتر. لگاریتم در هنر نیز کاربرد پیدا میکند.میدانیم در موسیقی برای بیان فشار صوت از دسیبل(decibel)استفاده می شود. اصطلاح دسیبل که در بسیاری از مباحث فیزیک موسیقی و نیز به هنگام استفاده از اعمال ضبط و افکت در استودیوهای موسیقی کاربرد دارد درواقع از یک محاسبه ی لگاریتمی فوق العاده اسان قابل محاسبه است. کاربردهای لگاریتم در موسیقی  در اینجا پایان نمی یابد. مثلا لگاریتم در بیان سطح فشار صوت(sound pressure level) کاربرد می یابد که در ان از معیاری به spl یا سطح فشار صوت استفاده می شود.                                                                                                        همچنین ساوار موسیقیدان و فیزیکدان فرانسوی که واحد سنجش فواصل موسیقی به نام اوست با استفاده از خاصیت های لگاریتم (لگاریتم حاصلضرب برابر است با حاصل جمع لگاریتم ها)توانست فواصل موسیقی را با هم جمع یا تفریق کند.بعدها برای اینکه جمع و تفریق ان ها از حالت اعشاری خارج شود واحد"سناوار"را مرسوم کردند.                                                                                                   از مهمترین کاربرد های لگاریتم می توان به کاربرد ان در علم زلزله شناسی اشاره نمود.مشکلات زیادی در اندازه گیری بیشینه ی دامنه وجود داشت که به توصیه گوتنبرگ دانشمند برجسته ی زمین لرزه شناسی اندازه گیری ان بصورت لگاریتم اعشاری انجام شد,امروزه در رابطه ی مقیاس بندی ریشتر و محاسبه ی بزرگی زلزله به لگاریتم بر می خوریم. سال ها بعد چارلز ریشتر زلزله شناس امریکایی یک مقیاس لگاریتمی را برای سنجش زلزله تعیین کرد که هنوز هم مورد استفاده است و به نام خودش (ریشتر)معروف است.زلزله شناسان نیز انرزی ازاد شده بوسیله زلزله,دامنه و فاصله ی زلزله(کانون زلزله)را با محاسبات لگاریتمی اندازه گیری می کنند(البته بزرگی زلزله یک درجه قراردادی است اما می توان از طریق ان و بطور نسبی زمین لرزه ها را با یکدیگر مقایسه نمود.)                                                   اما باید گفت پرکاربردترین علمی که از لگاریتم در ان استفاده می شود شیمی تجزیه است.در شیمی تجزیه بارها و بارها با لگاریتم و عمل لگاریتم گیری مواجه می شویم.از ان جمله می توان به استفاده از لگاریتم در اندازه گیری های PH و توابع Pو معادله دبای هوکل که با استفاده از ان جمله می توان ضرایب فعالیت یون ها را از طریق بار و میانگین اندازه انها محاسبه کرد,اشاره نمود.                                  امروزه لگاریتم در حسابداری و در تعیین بهره مرکب و نیز مسائل مالی کاربرد فراوانی یافته است.همان زمان که لگاریتم اختراع شده بود اویلر رابطه بین عددeو بهره مرکب را دریافت و فهمید که حد بهره به سمت عددی متناسب(یا مساوی در شرایط خاص),که همان عددe است میل می کند. همچنین از لگاریتم در مدلسازی و بازاریابی سهمی استفاده می شود.(مدلسازی ایجاد الگو و تمثیلی برای تجسم واقعیت های خارجی است که در مسائل مربوط به ریاضیات و حسابداری کاربرد دارد.)                     کاربرد های لگاریتم تنها به موارد اشاره شده در این جا ختم نمی شود.چنانچه لگاریتم در علوم زیستی ,نجوم و در اخترشناسی جهت اندازه گیری فاصله بین ستارگان و سیاره ها,امار.علوم کامپیوتر,زمین شناسی و.... نیز چه بسا کاربرد دیگری را که در اینده از لگاریتم شاهد خواهیم بود.

این گفته لاپلاس بی اساس نیست که میگوید :"اختراع لگاریتم کار محاسبه ی چند ماهه را تا چند روزه کوتاه ساخته;گویا که عمر منجمین را دو چندان می سازد."

لاپلاس,این ریاضیدان بزرگ درباره ی منجمان صحبت می نماید زیرا انها با محاسبات بخصوص پیچیده و خسته کننده روبرو می شوند.شاید او نمی دانست که نه تنها طول زندگی اختر شناسان بلکه دریانوردان,بازرگانان,موسیقیدانان,شیمیدانان,ریاضیدانان,زمین شناسان و حتی همه ی انسان های کره زمین را چند برابر کرد.